TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll * D
        

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

Pêndulo quântico

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O pêndulo quântico é fundamental para entender as rotações internas impedidas na química, as características quânticas dos átomos de dispersão, bem como numerosos outros fenômenos quânticos.^[1] Embora um pêndulo não sujeito à aproximação de pequeno ângulo tenha uma não-linearidade inerente, a equação de Schrödinger para o sistema quantizado pode ser resolvida de forma relativamente fácil.^[2][3][4]

Equação de Schrödinger

Usando a teoria lagrangiana da mecânica clássica, pode-se desenvolver um hamiltoniano para o sistema. Um pêndulo simples tem uma coordenada generalizada (o deslocamento angular ${\displaystyle \phi }$) e duas restrições (o comprimento da corda e o plano de movimento). As energias cinéticas e potenciais do sistema podem ser encontradas em

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\phi }}^{2},}$

X

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${\displaystyle U=mgl(1-\cos \phi ).}$

X

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Isso resulta no Hamiltoniano

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2ml^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ).}$

X

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A equação de Schrödinger dependente do tempo para o sistema é

${\displaystyle i\hbar {\frac {d\Psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Psi }{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )\Psi .}$

X

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É preciso resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para encontrar os níveis de energia e os auto-estados correspondentes. Isso é efetuado melhor alterando a variável independente da seguinte maneira:

${\displaystyle \eta =\phi +\pi ,}$

X

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${\displaystyle \Psi =\psi e^{-iEt/\hbar },}$

X

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${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} \eta ^{2}}}+mgl(1+\cos \eta )\psi .}$

X

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Esta é a equação de Mathieu.^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} \eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,}$

X

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onde as soluções são as funções Mathieu.

Na mecânica quântica, um sistema de dois estados (também conhecido como sistema de dois níveis) é um sistema quântico que pode existir em qualquer superposição quântica de dois estados quânticos independentes (fisicamente distinguíveis). O espaço de Hilbert descrevendo tal sistema é bidimensional. Portanto, uma base completa que liga o espaço consistirá em dois estados independentes. Qualquer sistema de dois estados também pode ser visto como um qubit.

Representação do sistema quântico de dois estados

O estado de um sistema quântico de dois estados pode ser descrito por um espaço bidimensional complexo de Hilbert. Isso significa que cada vetor de estado ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ é representado por duas coordenadas complexas:

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};}$ 

X

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onde, ${\displaystyle c_{1}}$ and ${\displaystyle c_{2}}$ são as coordenadas.^[1]

Se os vetores são normalizados, ${\displaystyle c_{1}}$ e ${\displaystyle c_{2}}$ são relacionados por ${\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1}$. Os vetores base são representados como ${\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ e ${\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

X

V

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

  Todas as grandezas físicas observáveis associadas a este sistema são matrizes Hermitianas 2 ${\displaystyle \times }$ 2 . O Hamiltoniano do sistema é também uma matriz Hermitiana 2 ${\displaystyle \times }$ 2.

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X

EM TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

Sistemas não lineares

Um sistema autônomo, não linear, de segunda ordem, é definido por duas equações diferenciais^[1]

$${\displaystyle {\begin{array}{l}{\dot {x}}=f(x,y)\\{\dot {y}}=g(x,y)\end{array}}.}$$

onde as funções ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ não são simples combinações lineares das variáveis ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y.}$

Não existem técnicas analíticas gerais para resolver esse tipo de equações.

Os métodos numéricos apresentam mais problemas neste caso, do que no caso das equações lineares.

No entanto, a análise gráfica no espaço de fase pode fornecer muita informação sobre o comportamento do sistema. É essencial começar por identificar os pontos fixos. Na próxima secção veremos que na região perto de cada ponto fixo o sistema comporta-se de forma semelhante a um sistema linear.^[1]

Linearização

As duas funções ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ podem ser escritas na forma de uma série de Taylor:

$${\displaystyle f(x,y)=f(u,v)+(x-u)\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right|_{(u,v)}+(y-v)\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|_{(u,v)}+\ldots }$$

$${\displaystyle g(x,y)=g(u,v)+(x-u)\left.{\frac {\partial g}{\partial x}}\right|_{(u,v)}+(y-v)\left.{\frac {\partial g}{\partial y}}\right|_{(u,v)}+\ldots }$$

Na vizinhança do ponto ${\displaystyle (u,v),}$ os 3 termos apresentados nas duas séries acima constituem uma boa aproximação ao valor real da função. Se ${\displaystyle (u,v),}$ for um ponto fixo do sistema, ${\displaystyle f(u,v)}$ e ${\displaystyle g(u,v)}$ serão nulas e, portanto, o primeiro termo de cada série desaparecerá. Mudando a origem de coordenadas para o ponto fixo ${\displaystyle (u,v),}$ isto é, num sistema de coordenadas ${\displaystyle X=x-u,}$ ${\displaystyle Y=y-v,}$ as funções são, aproximadamente,

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(X,Y)&=&X\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right|_{(u,v)}+Y\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|_{(u,v)}\\g(X,Y)&=&X\left.{\frac {\partial g}{\partial x}}\right|_{(u,v)}+Y\left.{\frac {\partial g}{\partial y}}\right|_{(u,v)}\\\end{aligned}}}$$

Substituindo no sistema, obtém-se um sistema linear. Repare que ${\displaystyle {\dot {X}}={\dot {x}},}$ porque ${\displaystyle u}$ é uma constante, e ${\displaystyle {\dot {Y}}={\dot {y}},}$ porque ${\displaystyle v}$ também é constante.

$${\displaystyle \left[{\begin{array}{r}{\dot {X}}\\{\dot {Y}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rr}\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}\\[12pt]\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial y}}\end{array}}\right]_{(u,v)}\left[{\begin{array}{r}X\\Y\end{array}}\right]}$$

esta aproximação linear só será válida numa vizinhança da origem ${\displaystyle (X=0,Y=0),}$ nomeadamente, perto do ponto fixo.

A matriz do sistema linear acima designa-se por matriz jacobiana. É uma matriz constante, obtida a partir das derivadas das funções de estado, substituindo as variáveis pelos valores no ponto fixo. Por cada ponto fixo existirá uma matriz jacobiana diferente. Os valores e vectores próprios de cada uma dessas matrizes permitem estudar a estabilidade do sistema, na vizinhança do ponto fixo respectivo, da mesma forma que é feito para os sistemas lineares.^[1]

Método de Runge-Kutta

Ver artigo principal: Método de Runge-Kutta

Na aproximação

$${\displaystyle x_{n+1}\approx x_{n}+h{\dot {x}}(t_{n})}$$

usamos o método de Euler, para calcular o valor da função no instante ${\displaystyle t_{n+1}}$ a partir da derivada no instante ${\displaystyle t_{n}.}$ ^[1]

Para melhorar o método será preciso usar uma melhor aproximação ao valor médio da derivada, no intervalo ${\displaystyle [t_{n},t_{n}+h].}$

Os quatro valores da derivada usados no método de Runge-Kutta de quarta ordem. Neste caso para o sistema ${\displaystyle x=x+t^{2},}$ na verde mostra-se a solução exata desse sistema.

No método de Runge-Kutta de quarta ordem, o valor da derivada, ${\displaystyle d,}$ obtém-se a partir da média das derivadas em 4 pontos diferentes, com pesos diferentes (figura ao lado).^[1]

Começa-se por calcular a derivada no ponto inicial, tal como no método de Euler:

$${\displaystyle d_{1}=f(t_{0},x_{0})}$$

a seguir, realiza-se um deslocamento na direção dessa derivada, avançando uma distância ${\displaystyle {\frac {h}{2}}}$ no tempo, até um ponto 1 (ver figura). Nesse ponto 1, calcula-se um segundo valor da derivada:

$${\displaystyle d_{2}=f\left(t_{0}+{\frac {h}{2}},x_{0}+\left({\frac {h}{2}}\right)d_{1}\right)}$$

Esse novo valor da derivada é usado novamente, para realizar outro deslocamento a partir do ponto inicial, avançando ${\displaystyle {\frac {h}{2}}}$ no sentido do tempo, até um outro ponto 2, onde é calculado um terceiro valor da derivada:

$${\displaystyle d_{3}=f\left(t_{0}+{\frac {h}{2}},x_{0}+\left({\frac {h}{2}}\right)d_{2}\right)}$$

seguindo o a direção da derivada ${\displaystyle d_{3},}$ realiza-se um terceiro deslocamento, a partir do ponto inicial, desta vez avançando uma distância ${\displaystyle h}$ no eixo do tempo, para chegar até um ponto 3, onde se calcula um quarto valor da derivada:

$${\displaystyle d_{4}=f(t_{0}+h,x_{0}+hd_{3})}$$

Pode mostrar-se que o valor da derivada que conduz a um erro mínimo é a combinação linear:

$${\displaystyle d={\frac {1}{6}}(d_{1}+2d_{2}+2d_{3}+d_{4})}$$

no exemplo da figura, esse valor médio da derivada desloca o ponto inicial até o ponto 4, que está bastante perto da solução exata da equação.^[1]

Em cada ponto ${\displaystyle (t_{n},x_{n}),}$ calcula-se o valor médio da derivada usando o mesmo processo, e com esse valor médio, ${\displaystyle d,}$ obtém-se o ponto seguinte na forma habitual:

$${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h\qquad x_{n+1}=x_{n}+hd}$$

Sistemas autônomos no plano

Ver artigo principal: Sistemas autônomos

Um sistema dinâmico autônomo, com duas variáveis de estado ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2},}$ é caraterizado por duas equações de evolução:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x_{1}}}=f_{1}(x_{1},x_{2})\\{\dot {x_{2}}}=f_{2}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$$

onde ${\displaystyle f_{1}}$ e ${\displaystyle f_{2}}$ são duas funções quaisquer, que dependem das variáveis ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}.}$ Não existem técnicas analíticas gerais para resolver esse tipo de equações; unicamente existem técnicas analíticas gerais para o caso dos sistemas lineares, em que ${\displaystyle f_{1}}$ e ${\displaystyle f_{2}}$ são combinações lineares das variáveis ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}.}$^[1]

Os sistemas não lineares geralmente só podem ser resolvidos por métodos numéricos. No entanto, a análise gráfica no espaço de fase pode fornecer muita informação sobre o comportamento do sistema.^[1]

Pontos de equilíbrio

Os sistemas lineares têm um único ponto de equilíbrio. Um sistema não linear pode ter qualquer número de pontos de equilíbrio.^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x_{1}}}&=4-x_{1}^{2}-4\,x_{2}^{2}&{\dot {x_{2}}}&=x_{2}^{2}-x_{1}^{2}+1\end{aligned}}}$$

Existem quatro pontos de equilíbrio. Os pontos onde o lado direito da primeira equação é nulo, são todos os pontos da elipse ${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{4}}+x_{2}^{2}=1}$ e os pontos onde o lado direito da segunda equação é nulo são os pontos da hipérbole ${\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=1.}$

Os pontos de equilíbrio são os pontos de interseção entre as curvas onde cada uma das funções é nula.

Os pontos de equilíbrio do sistema são os quatro pontos de interseção entre a elipse e a hipérbole. Os gráficos dessas duas curvas desenham-se mais facilmente usando a forma paramétrica dessas equações:

O resultado é apresentado na figura 10.1. Dentro da elipse, ${\displaystyle {\dot {x}}_{1}}$ é positiva: o campo de direções aponta para a direita, e fora da elipse o campo aponta para a esquerda. Na região à esquerda da hipérbole, o campo de direções aponta para baixo, entre os dois ramos da hipérbole o campo aponta para cima, e à direita da hipérbole o campo aponta para baixo.

Aproximação linear

Ver artigo principal: Aproximação linear

Cada uma das funções ${\displaystyle f_{1}}$ e ${\displaystyle f_{2}}$ podem ser escritas na forma de uma série de Taylor, na vizinhança de um ponto qualquer ${\displaystyle (a,b)}$ do espaço de fase:^[1]

$${\displaystyle f_{i}(x_{1},y_{2})=f_{i}(a,b)+(x_{1}-a)\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{1}}}\right|_{(a,b)}+(x_{2}-b)\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{2}}}\right|_{(a,b)}+\ldots }$$

Se o ponto ${\displaystyle (a,b)}$ for um ponto de equilíbrio, ${\displaystyle f_{i}(a,b)}$ é nula e, portanto, o primeiro termo da série é nulo.^[1]

Mudando a origem de coordenadas para o ponto fixo ${\displaystyle (a,b),}$ isto é, num novo sistema de coordenadas: ${\displaystyle x=x_{1}-a,}$ ${\displaystyle y=x_{2}-b,}$ as funções são, aproximadamente,

$${\displaystyle f_{i}(x,y)=\left.{\dfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{1}}}\right|_{(a,b)}\,x+\left.{\dfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{2}}}\right|_{(a,b)}\,y}$$

Os índices ${\displaystyle (a,b)}$ indicam que ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ deverão ser substituídos pelas coordenadas ${\displaystyle (a,b)}$ do respetivo ponto de equilíbrio. Substituindo essas aproximações no sistema anterior, obtém-se um sistema linear (repare-se que ${\displaystyle {\dot {x}}={\dot {x_{1}}},}$ porque ${\displaystyle a}$ é uma constante, e ${\displaystyle {\dot {y}}={\dot {x_{2}}},}$ porque ${\displaystyle b}$ também é constante).

$${\displaystyle \left[{\begin{array}{r}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rr}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}\end{array}}\right]_{(a,b)}\left[{\begin{array}{r}x\\y\end{array}}\right]}$$

esta aproximação linear só será válida numa vizinhança da origem ${\displaystyle (x=0,y=0),}$ nomeadamente, perto do ponto fixo.^[1]

A matriz do sistema linear (aproximação linear) designa-se por matriz jacobiana,

$${\displaystyle J_{(f_{1},f_{2})}(x_{1},x_{2}).}$$

Substituindo as coordenadas ${\displaystyle (a,b)}$ do ponto de equilíbrio na matriz jacobiana, obtém-se uma matriz constante. Por cada ponto de equilíbrio existe uma matriz de coeficientes constantes, que corresponde à aproximação linear perto desse ponto de equilíbrio. Os valores e vetores próprios de cada uma dessas matrizes permitem analisar a estabilidade do sistema, na vizinhança do respetivo ponto de equilíbrio, da mesma forma que é feito para os sistemas lineares.^[1]

Sistemas Não Lineares Físicos

O pêndulo

O tipo de pêndulo a seguir está formado por um disco de massa ${\displaystyle m}$ e raio ${\displaystyle r,}$ ligado a uma barra rígida de massa desprezável em comparação com ${\displaystyle m.}$ No outro extremo da barra passa um eixo horizontal que permite que o pêndulo rode num plano vertical, descrevendo trajetórias circulares com raio ${\displaystyle l,}$ onde ${\displaystyle l}$ é a distância desde o centro do disco até o eixo de rotação. (figura abaixo).

Pêndulo formado por um disco e uma barra que pode rodar à volta de um eixo horizontal.

O pêndulo tem unicamente um grau de liberdade, que pode ser definido como o ângulo ${\displaystyle \theta }$ que faz com a vertical. Portanto, existem duas variáveis de estado, ${\displaystyle \theta ,}$ e a velocidade angular ${\displaystyle \omega .}$ A primeira equação de evolução é a relação entre o ângulo e a velocidade angular: ${\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega .}$ A segunda equação de evolução é a expressão da aceleração angular ${\displaystyle \alpha }$ em função de ${\displaystyle \theta }$ e de ${\displaystyle \omega .}$ Para encontrar essa expressão, é preciso resolver as leis do movimento do corpo rígido.^[1]

Sobre o pêndulo atuam duas forças externas: o peso, ${\displaystyle m\,{\vec {g}},}$ vertical, e uma força de contato do eixo sobre a barra, ${\displaystyle {\vec {F}},}$ que por conveniência será decomposta numa componente tangencial ${\displaystyle F_{\mathrm {t} }}$ e outra componente normal ${\displaystyle F_{\mathrm {n} },}$ na direção da barra.^[1]

Como o eixo de rotação do pêndulo está fixo, pode aplicar-se a lei do movimento de rotação com eixo fixo:

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}M_{z,i}=I_{z}\,\alpha }$$

}

Neste caso, o peso é a única força que produz momento em relação ao eixo e esse momento é ${\displaystyle m\,g\,l\,\mathrm {sen} \,\theta .}$ Assim, a expressão para ${\displaystyle \alpha }$ em função do ângulo ${\displaystyle \theta }$ é:

$${\displaystyle \alpha =-{\frac {m\,g\,l\,\mathrm {sen} \,\theta }{I_{z}}}}$$

Onde ${\displaystyle I_{z}}$ é o momento de inércia do disco, já que o momento de inércia da barra é desprezado. O momento de inércia do disco em relação ao seu centro é:

$${\displaystyle I_{\mathrm {cm} }={\frac {1}{2}}m\,r^{2}}$$

e usando o teorema dos eixos paralelos ${\displaystyle I_{z}=I_{\text{cm}}+md^{2}}$ para deslocar o eixo uma distância ${\displaystyle l,}$ desde o centro do disco até o eixo do pêndulo, obtemos:

$${\displaystyle I_{z}=m\,l^{2}+{\frac {1}{2}}m\,r^{2}}$$

O chamado pêndulo simples corresponde ao caso em que o raio do disco, ${\displaystyle r,}$ for muito menor que o comprimento da barra, ${\displaystyle l;}$ nesse caso, o momento de inércia será, aproximadamente, ${\displaystyle I\approx m\,l^{2},}$ e as equações de evolução obtidas para o pêndulo simples são as seguintes (num pêndulo que não seja simples, ${\displaystyle {\frac {g}{l}}}$ deverá ser substituída por ${\displaystyle \left({\frac {m\,g\,l}{I_{z}}}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}&=\omega \\{\dot {\omega }}&=-{\frac {g}{l}}\,\mathrm {sen} \,\theta \end{aligned}}}$$